martes, 31 de agosto de 2010

1.3 El Proceso de Razonamiento Segun la Logica (Axiomas,Teoremas,Demostración)

Razonamiento Lógico

Introducción.
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias.

¿QUÉ ES LA LÓGICA?

La lógica es aquella ciencia que va en búsqueda de las formas de los razonamientos correctos, es decir, de las leyes del deducir correctamente. En este sentido es legítimo afirmar que la lógica es la teoría de la deducción, en cuanto estudia las reglas de las inferencias correctas.
La lógica hace explícitas estas leyes, las ordena en sistemas axiomáticos y prueba sus capacidades y límites.

Teoría deductiva

Designamos bajo este nombre toda teoría que se fundamenta en dos principios:
Definiciones y demostraciones.
En su desarrollo debe cumplir básicamente las siguientes condiciones:

Enunciar explícitamente los términos primitivos con ayuda de los cuales se propone definir los demás términos de la teoría.

Enunciar explícitamente las relaciones primitivas. Con la misma esencia anterior, son relaciones que el hombre pone en la base de su conocimiento.

Enunciar explícitamente las proposiciones primitivas, con ayuda de las cuales se propone demostrar otras proposiciones de la teoría. Estas proposiciones primeras se denominan Axiomas y relacionan entre sí los términos primitivos y las relaciones primitivas.

Que las relaciones enunciadas entre los términos sean únicamente relaciones lógicas, permaneciendo independientes del sentido concreto o interpretación que pueda darse a los términos.

Axioma o postulado

Es una proposición primitiva que se admite como cierta. En la construcción de una teoría axiomática se ha de partir de un conjunto de axiomas, escogidos de tal forma que dicho conjunto ha de ser: compatible, suficiente, independiente.
Analicemos estas características:
Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias.

Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema.
Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros.
Estableciendo el sistema de axiomas (que por cierto, no tienen porque ser "evidentes"), se comienza a construir la teoría enunciando y demostrando los teoremas.

La demostración

El proceso demostrativo consiste básicamente en:
A partir de unas proposiciones dadas que llamaremos premisas, obtener otra proposición que llamaremos conclusión mediante la aplicación de unas reglas lógicas .
Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoría deductiva dada procedemos así:

1.-Se enuncian explícitamente los axiomas de la teoría.

2.-Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo, estas reglas se denominan reglas de validez y se reducen a las siguientes:

Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una demostración.

Regla de validez 2: Si P=>Q figura en una demostración y P también figura en la misma demostración, entonces se puede concluir Q en la demostración. Esta regla universal se conoce con el nombre de Modus Ponens.

Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce con el nombre de sustitución por equivalencia.

3. Efectuar una demostración de una proposición específica Q, consiste en obtener la proposición Q como la última en el proceso demostrativo por aplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.

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